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考研数学复习小结(概率论与数理统计初步、线性代数)(数学)

2003年10月27日
   概率论与数理统计初步主要考查考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解,以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
    随机事件和概率考查的主要内容有:
(1)事件之间的关系与运算,以及利用它们进行概率计算;
(2)概率的定义及性质,利用概率的性质计算一些事件的概率;
(3)古典概型与几何概型;
(4)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率;
(5)事件独立性的概念,利用独立性计算事件的概率;
(6)独立重复试验,伯努利概型及有关事件概率的计算。
    要求考生理解基本概念,会分析事件的结构,正确运用公式,掌握一些技巧,熟练地计算概率。
    随机变量及概率分布考查的主要内容有:
(1)利用分布函数、概率分布或概率密度的定义和性质进行计算;
(2)掌握一些重要的随机变量的分布及性质,主要的有:(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布,会进行有关事件概率的计算;
(3)会求随机变量的函数的分布。
(4)求两个随机变量的简单函数的分布,特别是两个独立随机变量的和的分布。
    要求考生熟练掌握有关分布函数、边缘分布和条件分布的计算,掌握有关判断独立性的方法并进行有关的计算,会求两个随机变量函数的分布。
    随机变量的数字特征考查的主要内容有:
(1)数学期望、方差的定义、性质和计算;
(2)常用随机变量的数学期望和方差;
(3)计算一些随机变量函数的数学期望和方差;
(4)协方差、相关系数和矩的定义、性质和计算;
    要求考生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算,掌握由给出的试验确定随机变量的分布,再计算有关的数字的特征的方法,会计算协方差、相关系数和矩,掌握判断两个随机变量不相关的方法。
大数定律和中心限定理考查的主要内容有:
(1)切比雪夫不等式;
(2)大数定律;
(3)中心极限定理。
    要求考生会用切比雪夫不等式证明有关不等式,会利用中心极限理进行有关事件概率的近似计算。
数理统计的基本概念考查的主要内容有:
(1)样本均值、样本方差和样本矩的概念、 性质及计算;
(2)χ2分布、t分布和F分布的定义、性质及分位数;
(3)推导某些统计量的(特别是正态总体的某些统计量)的分布及计算有关的概率。
    要求考生熟练掌握样本均值、样本方差的性质和计算,会根据χ2分布、 t分布和 F分布的定义和性质推导有关正态总体某些统计的计量的分布。
    参数估计考查的主要内容有:
(1)求参数的矩估计、极大似然估计;
(2)判断估计量的无偏性、有效性、一致性;
(3)求正态总体参数的置信区间。
    要求考生熟练地求得参数的矩估计、极大似然估计并判断无偏性,会求正态总体参数的置信区间。
    假设检验考查的显著的主要内容有:
(1)正态总体参数的显著性检验;
(2)总体分布假设的χ2检验。
    要求考生会进行正态总体参数的显著性检验和总体分布假设的χ2检验。
    常有的题型有:填空题、选择题、计算题和证明题,试题的主要类型有:
(1)确定事件间的关系,进行事件的运算;
(2)利用事件的关系进行概率计算;
(3)利用概率的性质证明概率等式或计算概率;
(4)有关古典概型、几何概型的概率计算;
(5)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率;
(6)有关事件独立性的证明和计算概率;
(7)有关独重复试验及伯努利概率型的计算;
(8)利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率;
(9)由给定的试验求随机变量的分布;
(10)利用常见的概率分布(例如(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等)计算概率;
(11)求随机变量函数的分布
(12)确定二维随机变量的分布;
(13)利用二维均匀分布和正态分布计算概率;
(14)求二维随机变量的边缘分布、条件分布;
(15)判断随机变量的独立性和计算概率;
(16)求两个独立随机变量函数的分布;
(17)利用随机变量的数学期望、方差的定义、性质、公式,或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差;
(18)求随机变量函数的数学期望;
(19)求两个随机变量的协方差、相关系数并判断相关性;
(20)求随机变量的矩和协方差矩阵;
(21)利用切比雪夫不等式推证概率不等式;
(22)利用中心极限定理进行概率的近似计算;
(23)利用t分布、χ2分布、F分布的定义、性质推证统计量的分布、性质;
(24)推证某些统计量(特别是正态总体统计量)的分布;
(25)计算统计量的概率;
(26)求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量;
(27)判断估计量的无偏性、有效性和一致性;
(28)求单个或两个正态总体参数的置信区间;
(29)对单个或两个正态总体参数假设进行显著性检验;
(30)利用χ2检验法对总体分布假设进行检验。
  这一部分主要考查概率论与数理统计的基本概念、基本性质和基本理论,考查基本方法的应用。对历年的考题进行分析,可以看出概率论与数理统计的试题,即使是填空题和选择题,只考单一知识点的试题很少,大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求考生能灵活地运用所学的知识,建立起正确的概率模型,综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。
    在解答这部分考题时,考生易犯的错误有:
(1) 概念不清,弄不清事件之间的关系和事件的结构;
(2) 对试验分析错误,概率模型搞错;
(3) 计算概率的公式运用不当;
(4) 不能熟练地运用独立性去证明和计算;
(5) 不能熟练掌握和运用常用的概率分布及其数字特征;
(6) 不能正确应用有关的定义、公式和性质进行综合分析、运算和证明。
  综合历年考生的答题情况,得知概率论与数理统计试题的得分率在0.3左右,区分度一般在0.40以上。这表明试题既有一定的难度,又有较高的区分度。

  概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错,知识前后紧密联系是线性代数课程的特点,故考生应充分理解概念,掌握定理的条件、结论、应用,熟悉符号意义,掌握各种运算规律、计算方法,并及时进行总结,抓联系,使学知识能融会贯通,举一反三,根据考试大纲的要求,这里再具体指出如下:
  行列式的重点是计算,利用性质熟练准确的计算出行列式的值。
  矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外,主要也是运算,其运算分两个层次,一是矩阵的符号运算,二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中,首先进行矩阵的符号运算,将矩阵方程化简,然后再代入数值,算出具体的结果,矩阵的求逆(包括简单的分块阵)(或抽象的,或具体的,或用定义,或是用公式A -1= 1 A*,或 A用初等行变换),A和A*的关系,矩阵乘积的行列式,方阵的幂等也是常考的内容之一。
  关于向量,证明(或判别)向量组的线性相关(无关),线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关(无关)的概念及几个相关定理的掌握,并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。
  向量组的极大无关组,等价向量组,向量组及矩阵的秩的概念,以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。
  在Rn中,基、坐标、基变换公式,坐标变换公式,过渡矩阵,线性无关向量组的标准正交化公式,应该概念清楚,计算熟练,当然在计算中列出关系式后,应先化简,后代入具体的数值进行计算。
  行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容,它们不是孤立隔裂的,而是相互渗透,紧密联系的,例如?OA?O≠0〈===〉A是可逆阵〈= ==〉r(A)=n(满秩阵)〈===〉A的列(行)向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有(唯一)解〈===〉A=P1 P2 …PN,其中PI(I=1,2,…,N)是初等阵〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行变换
I〈===〉A的列(行)向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件,故对考生而言,应该认真总结,开拓思路,善于分析,富于联想使得对综合的,有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。
  关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量,对具体给定的数值矩阵,一般用特征方程?OλE-A?O=0 及(λE-A)ξ=0即可,抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值(的取值范围),可用定义Aξ=λξ,同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用,二是有关相似矩阵和相似对角化的问题,一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵,反过来,可由A 的特征值,特征向量来确不定期A的参数或确定A,如果A是实对称阵,利用不同特征值对应的特征向量相互正交,有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2 (λ2≠λ1)对应的特征向量,从而确定出A 。三是相似对角化以后的应用,在线性代数中至少可用来计算行列式及An.
  将二次型表示成矩阵形式,用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个:一是化二次型为标准形,这主要是正交变换法(这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法),在没有其他要求的情况下,用配方法得到标准形可能更方便些;二是二次型的正定性问题,对具体的数值二次型,一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别,而抽象的由给定矩阵的正定性,证明相关矩阵的正定性时,可利用标准形,规范形,特征值等到证明,这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。

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